zpět na výpis    domů » statistika » Regresní přímka v maticovém vyjádření

Regresní přímka v maticovém vyjádření

Publikováno: 14.6.2017

Regresní přímka v maticovém vyjádření

V článku Regresní přímka a Cramerovo pravidlo je demonstrován odhad bj neznámých parametrů βj modelu regresní přímky pomocí Cramerova pravidla. Nyní je na programu druhý a asi nejčastěji používaný způsob odhadu parametrů. Tím způsobem je maticové vyjádření klasického lineárního regresního modelu (KLRM) a odhad parametrů modelu pomocí bodové odhadové funkce metody nejmenších čtverců (MNČ) ve tvaru b = (XTX)-1XTy.

Bodová odhadová funkce MNČ

Výchozím bodem odvození odhadové funkce MNČ je vyjádření KLRM v maticové podobě.

Klasický lineární regresní model - maticový zápis

y ... sloupcový vektor n pozorování hodnot závisle proměnné
X ... matice n x (k + 1) pozorování hodnot vysvětlujících proměnných
b ... sloupcový vektor k + 1 neznámých parametrů
e ... sloupcový vektor n náhodných složek → e = y - Xβ

Minimalizační kritérium MNČ lze obecně pro KLRM zapsat v následujícím tvaru.

Minimalizační kritérium MNČ

Kritérium minimalizuje součet čtverců odchylek reziduální složky. Parciální derivací minimalizační kritéria podle vektoru bT a položením rovno nule získáme soustavu normálních rovnic.

Soustava normálních rovnic odvozených MNČ

Posledním krokem je vyjádření odhadové funkce b ze soustavy normálních rovnice.

Bodová odhadová funkce MNČ

Odhad parametrů regresní přímky

Výchozím bodem odhadu vektoru parametrů b KLRM je následující maticový zápis modelu včetně jeho rozepsání.

Bodová odhadová funkce MNČ

Jedničkový sloupec v matici nezávisle proměnných X představuje hodnoty pro odhad parametru b0. Pokud by byl odhadován model bez úrovňové konstanty, jedničkový sloupec by v matici nefiguroval.

Vektor hodnot závisle proměnné y a matici hodnot nezávisle proměnných X postupně upravíme do podoby bodové odhadové funkce MNČ. První krokem je převod matice X na transponovanou matici XT a jejich vzájemný součin.

Součin matice X a její transpozice

Dále je potřeba vytvořit inverzní matici (XTX)-1 k matici (XTX). Výpočet inverzní matice se provádí pomocí transformace přes jednotkovou matici. Pro udržení jednoduchosti si pomůžeme v MS Excel pomocí maticové funkce INVERZE().

Jednotková matice je matice, která má na hlavní diagonále samé jedničky a ostatní prvky mimo ní jsou nulové.

Transponovanou matici XT nezávisle proměnných vynásobíme vektorech hodnot závisle proměnné y.

Součin transponované matice X a vektoru y

Posledním krokem je součin vypočtených matic (XTX)-1 a XTy, abychom získali odhad vektoru b regresních parametrů.

Bodová odhadová funkce MNČ

Maticový odhad regresních parametrů v praxi

Cílem článku je odhad parametrů bj výběrové regresní přímky ve tvaru Y = b0 + b1x. V následující tabulce máme k dispozici empirická data průměrných měsíčních spotřebních výdajů a příjmu spotřebitele v jednotlivých letech. Úkolem je kvantifikovat vztah mezi spotřebními výdaji y a příjmem spotřebitele x.

Empirická data spotřeby a příjmu spotřebitele

Z předchozího článku Regresní přímka a Cramerovo pravidlo již víme, že mezi proměnnými je lineární vztah, který můžeme vyjádřit pomocí regresní přímky.

Bodový diagram příjmu vs spotřeby

V prvním kroku naplníme vektor y a matici X hodnotami z tabulky.

Hodnoty vektoru y a matice X

Součin matic si můžete usnadnit v MS Excel pomocí maticové funkce SOUČIN.MATIC(). Inverzní funkci vypočtete pomocí již zmíněné funkce INVERZE().

Součiny matic a vektorů

Nyní již můžeme odhadnout regresní parametry pomocí bodové odhadové funkce MNČ ve tvaru b = (XTX)-1XTy.

Odhad vektoru b pomocí MNČ

Na základě odhadů parametrů b0 a b1 nyní můžeme sestavit výběrovou regresní funkci Y v indexovém tvaru.

Výběrová regresní přímka

Když máme odhady parametrů modelu, můžeme za xi dosadit jednotlivé hodnoty nezávisle proměnné a dopočítat vyrovnané hodnoty Y.

Graf vyrovnaných hodnot spotřeba versus příjem

Srovnejte odhady parametrů b0 a b1 výběrové regresní přímky s odhady z článku Regresní přímka a Cramerovo pravidlo.

Maticové funkce v MS Excel

  • SOUČIN.MATIC() - vrátí součin matic
  • INVERZE() - vrátí inverzní funkci

Chcete vědět o každém novém článku? Sledujte Finance v praxi na sociálních sítích a zůstaňte ve spojení.

Google+

Sdílejte článek na sociálních sítích

Seznam použité literatury
  • ČERNÁ, B.: Matematika - lineární algebra. Mendelova zemědělská a lesnická univerzita v Brně 2007, Brno. Páté nezměněné vydání, 130 stran. ISBN 978-80-7375-080-0
  • HAMPEL, D., BLAŠKOVÁ, V., STŘELEC, L.: Ekonometrie 2. Mendelova univerzita v Brně 2011, Brno. První vydání, 147 stran. ISBN 978-80-7375-540-9
  • HUŠEK, R.: Ekonometrická analýza. EKOPRESS 1999, Praha. První vydání, 303 stran. ISBN 80-86119-19-X
  • MINAŘÍK, B.: Statistika I. Popisná statistika - druhá část. Mendelova zemědělská a lesnická univerzita v Brně 2000, Brno. První vydání, 226 stran. ISBN 978-80-7375-152-4
Nahoru