zpět na výpis    domů » statistika » Regresní přímka a Cramerovo pravidlo

Regresní přímka a Cramerovo pravidlo

Publikováno: 4.6.2017

Regresní přímka a Cramerovo pravidlo

Tématem článku je řešení soustavy lineárních rovnic pro regresní přímku pomocí Cramerova pravidla. Cramerovo pravidlo je metoda, která se používá k řešení soustavy normálních rovnic vytvořené pomocí metody nejmenších čtverců (MNČ).

Soustava rovnic regresní přímky

Prvním krokem je řešení minimalizačního kritéria MNČ pro výběrovou regresní přímku ve tvaru Y = b0 + b1x. Kritérium minimalizuje součet čtverců odchylek ∑e2 skutečných hodnot závisle proměnné y od jejich vyrovnaných hodnot Y.

Minimalizační kritérium metody nejmenších čtverců

Parciálními derivacemi minimalizačního kritéria podle jednotlivých parametrů a položením rovno nule získáme následující rovnice.

Parciální derivace minimalizačního kritéria MNČ pro regresní přímku

Jednoduchými úpravami je vytvořena soustava rovnic o 2 neznámých regresních parametrech b0 a b1.

Soustava normálních rovnic regresní přímky

Analogicky lze získat soustavu rovnic pro všechny ostatní regresní funkce.

Cramerovo pravidlo

Cramerovo pravidlo je jednou z metod, která se používá k řešení soustavy algebraických rovnic. V našem konkrétním případě hledáme řešení vektoru neznámých parametrů bT = (b0, b1).

Ze soustavy normálních rovnic vytvoříme matici soustavy A, která obsahuje prvky n, ∑x, ∑x2 (na levé straně rovnic) a vektor pravých stran s prvky ∑y a ∑yx.

Matice soustavy a vektor pravých stran

Dále z matice soustavy vytvoříme matice Ai, které vznikne nahrazením i-tého sloupce vektorem pravých stran.

Odvozené matice z matice soustavy

Jestliže platí, že determinant matice A je nenulový (značeno detA ≠ 0), pak má soustava jedno řešení, které je dáno následujícím Cramerovým vzorcem.

Cramerův vzorec pro řešení neznámých parametrů soustavy rovnic

bi ... hledaný i-tý neznámý parametr
detAi ... determinant matice Ai
detA ... determinant matice A

Determinant matice je reálné číslo, které je určitým algoritmem přiřazeno čtvercové matici (n x n). Algoritmus se pro každý řád čtvercové matice liší.

Determinant čtvercové matice řádu n = 2 je dán rozdílem součinů prvků daných křížovým pravidlem. V následujícím boxu je postup výpočtu determinantu matice soustavy A a odvozených matic Ai.

Determinanty matic

Odhad parametrů regresní přímky v praxi

K dispozici máme empirická data o průměrném měsíčním příjmu a spotřebních výdajích jednotlivce v jednotlivých letech. Zajímá nás kvantitativní vztah mezi uvedenými proměnnými. Závisle proměnnou y jsou spotřební výdaje a nezávisle proměnnou x je čistý příjem.

Následující tabulka obsahuje všechny proměnné potřebné pro řešení soustavy normálních rovnic. Z proměnných x a y jsou vytvořené nové proměnné x2 a yx.

Zadání příklad pro odhad parametrů regresní přímky

Průběh závislosti mezi 2 proměnnými lze identifikovat pomocí bodového diagramu. Mezi proměnnými je pravděpodobně silný lineární vztah.

Bodový diagram příjmu vs spotřeby

Soustava normálních rovnic pro odhad parametrů regresní přímky má následující konkrétní podobu. Hodnoty jsou převzaty ze sumačního řádku tabulky.

Soustava normálních rovnic regresní přímky

Matice soustavy A je vytvořena z prvků levé strany soustavy rovnic. Její determinant je vypočten pomocí křížového pravidla pro čtvercové matice druhého řádu.

Soustava matice A a její determinant

Matice A0 je vytvořena z matice soustavy A záměnou prvního sloupce s vektorem pravých stran a vypočten její determinant.

Matice A<sub>0</sub> a její determinant

Matice A1 je vytvořena z matice soustavy A záměnou druhého sloupce s vektorem pravých stran a vypočten její determinant.

Matice A<sub>1</sub> a její determinant

Posledním krokem je výpočet neznámých parametrů b0 a b1 regresní přímky pomocí Cramerových vzorců.

Odhady parametrů soustavy rovnic pomocí Cramerových vzorců

Na základě odhadů b0 a b1 neznámých parametrů β0 a β1 nyní můžeme sestavit výběrovou regresní funkci Y v indexovém tvaru.

Výběrová regresní přímka

Pomocí této funkce nyní můžeme pro konkrétní hodnotu xi dopočítat vyrovnané hodnoty regresní přímky.

Vyrovnané hodnoty spotřeby versus příjem

Graf vyrovnaných hodnot spotřeba versus příjem

Pomocí výběrové regresní funkce můžeme vyjádřit stochastickou závislost skutečných hodnot závisle proměnné y na výběrové regresní přímce Y a reziduální složce e.

Stochastická závislost regresní přímky

Číselné hodnoty reziduální složky získáme rozdílem skutečných hodnot y a vyrovnaných hodnot Y. Tímto způsobem získanou reziduální složku pak můžeme testovat z hlediska sériové nezávislosti a konstantního rozptylu (předpoklady MNČ).

Regresní funkce v MS Excel

  • INTERCEPT() - vrátí odhad b0 regresní přímky
  • SLOPE() - vrátí odhad b1 regresní přímky
  • LINREGRESE() - vrátí odhady bj včetně doplňujících testů

Chcete vědět o každém novém článku? Sledujte Finance v praxi na sociálních sítích a zůstaňte ve spojení.

Google+

Sdílejte článek na sociálních sítích

Seznam použité literatury
  • ČERNÁ, B.: Matematika - lineární algebra. Mendelova zemědělská a lesnická univerzita v Brně 2007, Brno. Páté nezměněné vydání, 130 stran. ISBN 978-80-7375-080-0
  • HINDLS, R., HRONOVÁ, S., SEGER, J., FISCHER, J.: Statistika pro ekonomy. Profesional publishing 2007, Praha. Osmé vydání, 415 stran. ISBN 978-80-86946-43-6
  • HUŠEK, R.: Ekonometrická analýza. EKOPRESS 1999, Praha. První vydání, 303 stran. ISBN 80-86119-19-X
  • MINAŘÍK, B.: Statistika I. Popisná statistika - druhá část. Mendelova zemědělská a lesnická univerzita v Brně 2000, Brno. První vydání, 226 stran. ISBN 978-80-7375-152-4
  • Wikipedia. Cramerovo pravidlo [on-line] [cit. 2017-06-04]. Dostupné z WWW: https://cs.wikipedia.org/wiki/Cramerovo_pravidlo
Nahoru