zpět na výpis    domů » statistika » Optimalizace tržeb firmy

Optimalizace tržeb firmy

Publikováno: 1.7.2017

Optimalizace tržeb firmy

Cílem článku je optimalizace tržeb firmy operující v prostředí nedokonalé konkurence. Na základě teoretických dat je odhadnuta mikroekonomická funkce celkových tržeb firmy, která má kvadratický tvar. V modelu vystupují tržby jako závisle proměnná y a množství prodané produkce při dané ceně je nezávisle proměnná x.

Firma prodává své výrobky na nedokonale konkurenčním trhu. To znamená, že má určitou kontrolu nad cenou produkce. Jinými slovy, může zvýšit prodej výrobků snížením ceny. Zda však budou celkové tržby růst nebo klesat závisí na cenové elasticitě poptávky pro produkci firmy. Firmy v odvětví vyrábí diferencovaný produkt, existují překážky vstupu do odvětví a ekonomické subjekty mají k dispozici rozdílné množství informací.

Základní pojmy z mikrokonomie

Celkové tržby (TR) představují sumu peněz, které firma získá prodejem svých výrobků a služeb.

TR = P · Q

P ... cena
Q ... množství prodaných výrobků a služeb

Mezní tržby (MR) představují změnu celkových tržeb v důsledku změny prodané produkce o jednotku.

MR = ΔTR/ΔQ

Δ ... delta ... symbol pro změnu

Průměrné tržby (AR) představují celkové tržby připadající na jednotku prodané produkce.

AR = TR/Q

Postup odhadu regresního modelu

Obecný postup hledání vhodné aproximační funkce probíhá v následujících krocích:

Bodový graf tržeb

Průběh závislosti dvou proměnných můžeme zobrazit graficky, abychom zvolili správný tvar regresní funkce. Následující tabulka obsahuje počet pozorování n, objem prodané produkce Q, jednotkovou cenu P a celkové tržby firmy TR.

Zadání příkladu kvadratické regrese

Zajímá nás vztah objemu prodané produkce Q a celkových tržeb TR, které jsou dány součinem prodané produkce a ceny. S poklesem ceny dochází k růstu objemu prodané produkce a rostou celkové tržby firmy. Od určitě bodu však dochází k poklesu celkových tržeb. Z uvedeného průběhu a z bodového grafu lze usoudit, že vývoj celkových tržeb v závislosti na prodaném množství výrobků má parabolický tvar.

Bodový graf tržeb

To však není překvapující, neboť z mikroekonomické teorie je známo, že celkové tržby firmy v prostředí nedokonalé konkurence mají tvar paraboly a koeficientem a < 0.

Bodové odhady parametrů modelu

Hledáme bodové odhady b0, b1, ..., bk neznámých parametrů β0, β1, ..., βk parabolické regresní funkce TR = β0 + β1Q + β2Q2.

Odvození soustavy normálních rovnic pro kvadratickou funkci je uvedeno v článku Regresní parabola a Cramerovo pravidlo.

Soustava normálních rovnic regresní paraboly

Parametry soustavy normálních rovnic se odhadují pomocí Cramerova pravidla nebo bodové odhadové funkce v maticovém vyjádření b = (XTX)-1XTy. Výsledná parabolická rovnice s bodovými odhady regresních parametrů má následující tvar:

Odhad kvadratické regrese - tržby firmy

Testování kvality regresního modelu

K testování statistické průkaznosti odhadů regresních parametrů se používá t-test. Vyhodnocení probíhá porovnáním absolutní hodnoty vypočtených t a tabelované hodnoty. Tabelovanou hodnotu vypočteme v MS Excel pomocí funkce TINV(alfa; n - k - 1). Odhady b0, b1 a b2 regresních parametrů jsou testovány na hladině významnosti alfa = 0,05.

=TINV(0,05; 16 - 2 - 1) = 2,16

Jelikož vypočtené hodnoty t-testu (viz tabulka) převyšují tabelované hodnoty můžeme zamítnout nulovou hypotézu H0 o statistické nevýznamnosti odhadů regresních parametrů ve prospěch alternativní hypotézy H1 o jejich statistické významnosti.

Odhady a verifikace regresních parametrů
Parametrbjs(bj)tp-value
est β054,88722,1222,4810,028
est β18,3279,169,090,000
est β2-0,0650,007-9,4750,000

Hodnota p-value vyjadřuje nejnižší možnou hladinu významnosti, na které ještě lze zamítnout nulovou hypotézu o nevýznamnosti regresních parametrů. Například nulovou hypotézu parametru b0 lze zamítnout ještě na 2,8% hladině významnosti. Hodnoty p-value je možné vypočítat v MS Excel z absolutní hodnoty t-testů pomocí funkce TDIST(ABS(t); n - k - 1).

=TDIST(ABS(2,481); 16 - 2 - 1) = 0,027558075
=TDIST(ABS(9,09); 16 - 2 - 1) = 5,37927E-07
=TDIST(ABS(-9,475); 16 - 2 - 1) = 3,35141E-07

Graf vyrovnaných tržeb vs prodané produkce

Koeficient determinace říká, že se pomocí modelu podařilo vysvětlit 87,36 % variability celkových tržeb.

Model jako celek je statisticky průkazný, neboť vypočtená hodnota F-testu (2, 16 - 2 - 1) = 44,913 je na hladině významnosti alfa = 0,05 vyšší než její tabelovaná hodnota FINV(0,05; 2; 13) = 3,806.

Testování reziduální složky

Autokorelace reziduální složky je nejčastěji testována na základě Durbin-Watsonovy statistiky označované jako d. Pro přesné posouzení autokorelace zařadíme vypočtenou hodnotu d do intervalu pozitivní autokorelace, nulové autokorelace, negativní autokorelace nebo šedé zóny. Uvedené intervaly jsou vymezeny tabelovanými hodnotami dL a dU. Na 5% hladině významnosti jsou pro n = 16 a k = 2 základní tabelované hodnoty pro šedou zónu dL = 0,98 a dU = 1,54.

Intervaly autokorelace reziduální složky

Na základě vypočtené statistiky d = 1,562 je vyloučena autokorelace reziduální složky. Vypočtená statistika d spadla do intervalu nulové autokorelace.

Maximalizace celkových tržeb

Z odhadnutého modelu celkových tržeb můžeme nyní vypočítat optimální množství prodané produkce, při kterém jsou maximalizovány celkové tržby.

První derivací odhadnuté funkce celkový tržeb podle Q a položením rovno nule, získáme stacionární bod funkce podezřelý z extrému.

Mezní tržby firmy v nedokonalé konkurenci

Řešením lineární rovnice získáme optimální množství produkce, při které firma maximalizuje tržby.

Optimální tržby firmy v nedokonalé konkurenci

Maximální úrovně celkových tržeb ve výši 322 peněžních jednotek je dosaženo při prodeji 64 jednotek produkce s cenou 5 peněžních jednotek za kus.

Optimální množství produkce firmy v nedokonalé konkurenci

Úprava regresního modelu

Z odhadnutého vztahu vyplývá, že při nulovém prodeji produkce firma vydělá 54,9 peněžních jednotek. To ovšem nedává smysl, a proto je potřeba upravit tvar regresní funkce. Odhadneme kvadratickou funkci s nulovou úrovňovou konstantou b0 = 0. To znamená, že graf paraboly prochází počátkem.

Graf vyrovnaných tržeb vs prodané produkce

První derivací modelu bez úrovňové konstanty vypočteme mezní tržby, které položíme rovno nule a vyjádříme Q.

Optimální tržby firmy v nedokonalé konkurenci

Firma maximalizuje tržby při objemu prodeje Q = 66 a zaokrouhlené ceně P = 5.

Optimální množství produkce firmy v nedokonalé konkurenci

Odhad kvadratické regrese bez úrovňové konstanty má sice nižší koeficient determinace R2, avšak lépe vyhovuje podnikové praxi. Proto v zájmu logiky upřednostníme model číslo 2.

Funkce v MS Excel

  • ABS() - vrátí absolutní hodnotu
  • TINV() - tabelovaná hodnota t-statistiky
  • TDIST() - hladina významnosti parametru modelu
  • FINV() - tabelovaná hodnota F-testu
  • FDIST() - hladina významnosti modelu jako celku

Chcete vědět o každém novém článku? Sledujte Finance v praxi na sociálních sítích a zůstaňte ve spojení.

Google+

Sdílejte článek na sociálních sítích

Seznam použité literatury
  • DUFEK, J.: Ekonometrie. Mendelova zemědělská a lesnická univerzita v Brně 2003, Brno. První vydání, 136 stran. ISBN 80-7157-654-9
  • HINDLS, R., HRONOVÁ, S., SEGER, J., FISCHER, J.: Statistika pro ekonomy. Profesional publishing 2007, Praha. Osmé vydání, 415 stran. ISBN 978-80-86946-43-6
  • HUŠEK, R.: Ekonometrická analýza. EKOPRESS 1999, Praha. První vydání, 303 stran. ISBN 80-86119-19-X
  • MACÁKOVÁ, L. a kol.: Mikroekonomie. Základní kurs. MELANDRIUM 2002, Slaný. Sedmé vydání, 271 stran. ISBN 80-86175-20-0
  • MACÁKOVÁ, L. a kol.: Mikroekonomie. REPETITORIUM středně pokročilý kurz. MELANDRIUM 2007, Slaný. Páté vydání, 239 stran. ISBN 978-80-86175-57-7
Nahoru