zpět na výpis    domů » statistika » Regresní přímka a Cramerovo pravidlo

Regresní přímka a Cramerovo pravidlo

Publikováno: 4.6.2017

Regresní přímka a Cramerovo pravidlo

Cílem kapitoly je vysvětlit krok za krokem postup, jak se dostat ke vzorcům pro výpočet výběrových odhadů parametrů regresní přímky

Výběrová regresní přímka

Y ... vyrovnané hodnoty závisle proměnné, x ... empirické hodnoty nezávisle proměnné, b0 a b1 ... odhady výběrových parametrů

pomocí Cramerova pravidla.

Soustava rovnic pro regresní přímku

Výchozím krokem pro sestavení soustavy normálních rovnic je řešení minimalizačního kritéria metody nejmenších čtverců pro danou výběrovou regresní funkci

Minimalizační kritérium metody nejmenších čtverců

Parciálními derivacemi minimalizačního kritéria podle jednotlivých parametrů získáme rovnice

Parciální derivace minimalizačního kritéria MNČ pro regresní přímku

ze kterých vytvoříme finální podobu soustavy rovnic o 2 neznámých regresních parametrech b0 a b1

Soustava normálních rovnic regresní přímky

Analogicky lze získat soustavu rovnic pro všechny ostatní regresní funkce.

Cramerovo pravidlo

Cramerovo pravidlo je jednou z metod, která se používá k řešení soustavy algebraických rovnic. V našem konkrétním případě hledáme řešení pro neznámé parametry b0 a b1.

Ze soustavy normálních rovnic vytvoříme matici A, která obsahuje všechny prvky z levé strany soustavy rovnic. A vektor pravých stran z prvků na pravé straně soustavy.

Matice soustavy a vektor pravých stran

Dále z matice A vytvoříme matice Ai pro jednotlivé parametry, které vzniknou nahrazením i-tého sloupce matice vektorem pravých stran

Odvozené matice z matice soustavy

Je-li determinant matice A je nenulový (značeno detA ≠ 0), pak má soustava jedno řešení. To znamená, že pro jednotlivé parametry existuje jedno řešení dáno Cramerovým vzorcem

Cramerův vzorec pro řešení neznámých parametrů soustavy rovnic

bi ... hledaný i-tý neznámý parametr, detAi ... determinant matice Ai, detA ... determinant matice A

Determinant matice je reálné číslo, které je určitým algoritmem přiřazeno čtvercové matici (n x n). Algoritmus se pro každý řád čtvercové matice liší.

Determinant čtvercové matice řádu n = 2 je dán rozdílem součinů prvků daných křížovým pravidlem

Determinanty matic

Posledním krokem je dosazení do Cramerova vzorce pro výpočet odhadů regresních parametrů

Cramerovy vzorce pro odhad parametrů regresní přímky

Odhad neznámých parametrů v praxi

K dispozici máme empirická data o průměrném měsíčním příjmu a spotřebních výdajích jednotlivce v jednotlivých letech. Zajímá nás kvantitativní vztah mezi uvedenými proměnnými. Závisle proměnnou y jsou spotřební výdaje a nezávisle proměnnou x je čistý příjem.

Následující tabulka obsahuje proměnné potřebné pro řešení soustavy normálních rovnic n, x, y a vytvořené proměnné x2 a yx.

Zadání příklad pro odhad parametrů regresní přímky

Průběh závislosti mezi 2 proměnnými lze identifikovat pomocí bodového diagramu, který ukazuje na lineární vztah.

Bodový diagram příjmu vs spotřeby

Soustava normálních rovnic pro odhad parametrů regresní přímky má následující konkrétní podobu, kde sumační hodnoty jsou převzaty ze sumačního řádku tabulky

Soustava normálních rovnic regresní přímky

Ze soustavy rovnic vytvořime matici A a vypočteme její determinant pomocí křížového pravidla

Soustava matice A a její determinant

Determinant matice A je různý od nuly. To znamená, že soustava rovnic má řešení a můžeme pokračovat.

Z matice A a vektoru pravých stran vytvoříme matici A0 a vypočteme její determinant

Matice A<sub>0</sub> a její determinant

Stejným způsobem vytvoříme matici A1 a vypočteme determinant

Matice A<sub>1</sub> a její determinant

Posledním krokem je výpočet neznámých parametrů b0 a b1 regresní přímky pomocí Cramerových vzorců

Odhady parametrů soustavy rovnic pomocí Cramerových vzorců

Na základě výběrových odhadů b0 a b1 neznámých parametrů β0 a β1 nyní můžeme sestavit výběrovou regresní funkci Y v indexním tvaru

Výběrová regresní přímka

a dále pak pro konkrétní hodnoty xi dopočítáme vyrovnané hodnoty regresní přímky

Vyrovnané hodnoty spotřeby versus příjem
Graf vyrovnaných hodnot spotřeba versus příjem

Vyjádříme-li spotřební funkci jako stochastickou závislost skutečných hodnot závisle proměnné y na výběrové regresní přímce Y a reziduální složce e, pak můžeme dopočítat reziduální složku modelu rozdílem mezi skutečnou hodnotou a vyrovnanou hodnotou

Stochastická závislost regresní přímky

Reziduální složku pak můžeme testovat z hlediska sériové nezávislosti a konstantního rozptylu (předpoklady MNČ).

Regresní funkce v MS Excel

  • INTERCEPT() - vrátí odhad b0 regresní přímky
  • SLOPE() - vrátí odhad b1 regresní přímky
  • LINREGRESE() - vrátí odhady bj včetně doplňujících testů

Líbil se vám článek? A chcete se vědět o každém dalším?

Sledujte:

Seznam použité literatury
  • ČERNÁ, B.: Matematika - lineární algebra. Mendelova zemědělská a lesnická univerzita v Brně 2007, Brno. Páté nezměněné vydání, 130 stran. ISBN 978-80-7375-080-0
  • HINDLS, R., HRONOVÁ, S., SEGER, J., FISCHER, J.: Statistika pro ekonomy. Profesional publishing 2007, Praha. Osmé vydání, 415 stran. ISBN 978-80-86946-43-6
  • HUŠEK, R.: Ekonometrická analýza. EKOPRESS 1999, Praha. První vydání, 303 stran. ISBN 80-86119-19-X
  • MINAŘÍK, B.: Statistika I. Popisná statistika - druhá část. Mendelova zemědělská a lesnická univerzita v Brně 2000, Brno. První vydání, 226 stran. ISBN 978-80-7375-152-4
  • Wikipedia. Cramerovo pravidlo [on-line] [cit. 2017-06-04]. Dostupné z WWW: https://cs.wikipedia.org/wiki/Cramerovo_pravidlo
Nahoru