zpět na výpis    domů » matematika » Úvod do posloupností

Úvod do posloupností

Publikováno: 9.4.2019

Úvod do posloupností

Posloupnost je uspořádaná řada čísel generovaná funkcí, která každému přirozenému číslu n přiřadí reálné číslo an. Posloupnost je speciální případ reálné funkce, jejímž definičním oborem je množina přirozených čísel N a oborem funkčních hodnot množina reálných čísel R.

Nekonečná a konečná posloupnost

Hned na začátku je potřeba zmínit dvě základní vlastnosti posloupností. Posloupnosti se rozlišují podle toho, zda jsou či nejsou omezené na definičním oboru.

Je-li posloupnost definovaná na množině všech přirozených čísel je posloupnost nekonečná a zapisuje se jako

Nekonečná posloupnost

Je-li naopak posloupnost definovaná konečným počtem prvků k z množiny přirozených čísel je posloupnost konečná a zapisuje se jako

Konečná posloupnost

Princip posloupnosti

Princip posloupnosti si ukážeme na jednoduchém příkladu nekonečné posloupnosti zadané pro n-tý člen

Konečná posloupnost

Vypíšeme si prvních pět členů posloupnosti tak, že každému přirozenému číslu n, tj. 1, 2, 3, ..., přiřadíme reálné číslo an na základě zadaného funkčního předpisu, tj. a1, a2, a3, ...

Konečná posloupnost

Z příkladu by mělo být jasně patrné, že jsme očíslovali jednotlivé členy posloupnosti přirozenými čísly. Posloupnost tedy není nic jiného než očíslovaná řada reálných čísel. Důležité je vždy zachovat pořadí členů.

Graf posloupnosti

Grafem posloupnosti není spojitá křivka jako je tomu u reálných funkcí, ale uspořádaná n-tice izovalovaných bodů se souřadnicemi [n,an]. Graf prvních pěti členů výše zadané nekonečné posloupnosti

Graf posloupnosti

Zápis posloupnosti

Posloupnost se zapisuje dvěma způsoby. První způsob zápisu již byl zmíněn, tj. posloupnost zadaná pomocí vzorce pro n-tý člen

Vzorec pro n-tý člen posloupnosti

Druhým způsobem je rekurentní zadání posloupnosti, kdy je zadán první člen a1 nebo několik prvních členů posloupnosti a vzorec pro výpočet následujících hodnot an + 1

Rekurentní zápis posloupnosti

Rekurentně zadaná posloupnost se řeší postupným dosazováním předchozí hodnoty do zadaného vzorce

Rekurentní zápis posloupnosti

Převod na rekurentní zápis

Oba zápisy jsou identické, neboť vedou ke stejné řadě čísel. Chceme-li posloupnost zadanou pro n-tý člen vyjádřit rekurentně, musíme původní vzorec pro an vyjádřit pro následující člen an + 1

Rekurentní zápis posloupnosti

Druhy posloupnosti

Rozlišují se dva základní druhy posloupností - aritmetická a geometrická posloupnost. V názvech posloupností se skrývají zákonitosti, kterými jsou generovány jejich hodnoty.

Aritmetická posloupnost

Každý člen posloupnosti an (počínaje druhým členem) je aritmetickým průměrem sousedních členů

Člen aritmetické posloupnosti

Geometrická posloupnost

Každý člen posloupnosti an (počínaje druhým členem) je geometrickým průměrem absolutních hodnot sousedních členů

Člen geometrické posloupnosti

Líbí se vám článek a chcete vědět o každém dalším? Dejte Like Financím v praxi na sociálních sítích.

Google+

Sdílejte článek na sociálních sítích

Seznam použité literatury
  • ODVÁRKO. O.: Matematika pro gymnázia. Posloupnost a řady. Prometheus 1995, Praha. Dotisk třetího vydání, 126 stran. ISBN 978-80-7196-391-2
  • POLÁK, J.: Přehled středoškolské matematiky. PROMETHEUS 2015, Praha. Desáté vydání, 659 stran. ISBN 978-80-7196-458-2
  • RADOVÁ, J., DVOŘÁK, P.: Finanční matematika pro každého. GRADA Publishing 2003, Praha. Čtvrté rozšířené vydání, 260 stran. ISBN 80-247-0473-0
Nahoru