Exponenciální funkce a její vlastnosti

Exponenciální funkce je dána předpisem

kde y je závisle proměnná, a je základ a x je nezávisle proměnná v exponentu funkce. Pro základ a platí, že je větší než nula a zároveň různý od jedné

Grafem exponenciální funkce je exponenciála. Exponenciální křivka prochází bodem P[0,1], neboť platí a⁰ = 1. Pro základ a > 1 je exponcenciální funkce rostoucí, pro 0 < a < 1 je klesající.

Definičním oborem funkce je množina všech reálných čísel, obor funkčních hodnot je omezen nulou a plus nekonečnem

Inverzní funkcí je logaritmická funkce, jejíž definiční obor je omezen nulou a plus nekonečném a oborem funkčních hodnot je množina všech reálných čísel.

Exponenciální funkce je ryze monotónní funkce, neboť je v celém definičním oboru rostoucí nebo klesající. Funkce je prostá a zdola omezená, nemá maximum ani minimum.

Modelování exponenciálního trendu

Exponenciální funkci můžeme využít například ve statistice při modelování exponenciálních trendů. Například prodej nově zavedeného výrobku na trh může v prvních letech růst exponenciálně. K modelování exponenciálního trendu můžeme použít exponenciální funkci ve tvaru

T ... trendová funkce, t ... časová proměnná, β₀ a β₁ jsou neznámé parametry exponenciální funkce

Exponenciální trendovou funkci je potřeba nejdříve zlinearizovat pomocí logaritmické transformace na tvar

teprve pak je můžeme trendovou funkci odhadnout pomocí metody nejmenších čtverců.

Odhadnutá regresní funkce v logaritmickém tvaru

Po zpětné transformaci do původní podoby získáme trendovou exponenciální funkci